Corrección / reflexión del examen 3ª Evaluación

En rasgos generales, salí con buenas sensaciones del examen aún que no del todo convencido en haber hecho un buen trabajo ya que eran 5 ejercicios y dos de ellos no les llegue a hacer porque no sabía. Lo que quiere decir que no estudie lo suficiente o lo que estudio no me rindió. Y ahora que veo los dos ejercicios que no hice, quizás hubiese sabido hacerles puesto que no era tan complicado.

Primer ejercicio: Valía 3 puntos, yo me pondría 1,5 o 2.
Porque no se si los procedimientos fueron del todo correctos, como por ejemplo en el apartado b, yo únicamente puse que era o por ser una constante, y en realidad había que haber dicho su dominio para poder decir que era una constante.

Segundo ejercicio: Valía 2 puntos, y siendo sincero no creo que llegue a 1.
Puse solamente las fórmulas de ecuación tangente y sustituí sin calcular nada por lo que no me dio ningún resultado. 

Tercer ejercicio: Valía 4 puntos.
A pesar de que nos diese el dibujo ya hecho no conseguí hacerlo. Se trataba de un problema del tipo de optimización igual que el otro que no conseguí hacer. Fue culpa mía no saber hacerlo ni entenderlo. Pero a lo mejor, solo tal vez hubiese sido mas conveniente tener mas tiempo para estudiarlo junto con las integrales, ya que se dio pocos días antes del examen. 
Pero ahora que veo la corrección que el profesor nos ha dado, no hubiese sido tan complicado hacerle. Simplemente había que utilizar la fórmula del área del triángulo, establecer una relación entre r y b, y calcular el área. A partir de ahí hacer la derivada segunda del área y evaluarla en el resultado que nos a dado, o con la derivada primera, estudiar el signo.

Cuarto ejercicio: Sobre 4 puntos, yo creo que tendría 3 o algo menos.
Este ejercicio era el estudio completo de la función, que se componía de 6 partes. La primera es el dominio, esta la tengo bien entera. La siguiente parte es los puntos de corte con los ejes, el corte con el eje y lo expliqué bien que no existía, el corte con el eje x, solo puse que cortaba por x=1 y no que también por x=-1. En la continuidad y asíntotas, posiblemente sea la parte que peor tengo, ya que no supe hallar las asíntotas oblicuas y en las horizontales no hice los límites necesarios para averiguarlo. En la monotonía y extremos relativos, sinceramente no recuerdo lo que puse, por lo que esperaré a que el profesor me vuelva a entregar el examen para poder ver mas detenidamente si lo puse bien o no. La parte de convexidad y puntos de inflexión la tengo completada correctamente. y por último la gráfica es quizás la parte que mas dejo de desear puesto que no hice la tabla de valores, no aplique los máximos y mínimos que encontré y la hice un poco a mano alzada.

Quinto ejercicio: Valía 2 puntos.
Este es el otro ejercicio que no conseguí realizar correctamente puesto que no le practique lo suficiente este tipo de problemas de optimización. Pero era bien sencillo lo único que había que hacer es aplicar la regla de Barrow correctamente y resolverlo. 

Como conclusión final puede decir que este examen a sido posiblemente en el que mas he aprendido, y para el que mas he trabajado aún que no de frutos. espero mejorar para el siguiente. 

Examen para casa correspondiente a la 3ª evaluación

Como ya es costumbre, antes de cada examen de matemáticas, el profesor nos manda una serie de ejercicios a modo de examen, sobre los contenidos de los que nos examinamos. Estos ejercicios son del tipo a los que tendremos en el examen.
 Este examen le hemos tenido hoy, y a parte hemos corregido algunos ejercicios del correspondiente examen para casa. Aquí os voy a dejar los ejercicios tal y como les tenía antes de la corrección.

Practicas de derivadas e integrales

Buscando en Google la forma de corregir las derivadas e integrales que estaba practicando, me encontré con una página que nos puede ayudar mucho a la hora de practicar, y entender lo que hacemos. 

Esta página tiene una calculadora científica, trigonométrica y en la cual se pueden incluir fracciones y raíces de todo tipo. Puedes pedir que te calcule la derivada o la integral de cualquier función, y explica los pasos que ha seguido para llegar a ese resultado. También te dice si a aplicado algún tipo de regla como las que ya hemos visto en este blog como la Regla de la Cadena, o la de L'Hopital. Y debajo de toda esta explicación hace una representación de de la integral o derivada que se halla obtenido.

Aquí os dejo el enlace:

https://es.symbolab.com/solver/integral-calculator 

Os invito a que la probéis y practiquéis con ella.

Regla de Barrow

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

En esta imagen podemos ver el tipo de notación que utilizamos en estos casos. Ahora voy a poneros una serie de ejemplos, tanto partiendo de una gráfica como de una función "escrita".

Cálculo de áreas de regiones planas

Conocemos de sobra cuales son los procedimiento para hallar el área de un polígono regular, pero con esto vamos a poder aplicarlo a muchos mas casos como Por ejemplo en la siguiente figura:

Como sabemos calcular el área de un rectángulo, tenemos que intentar cubrir el mayor espacio posible a base de triángulos. Por lo que al final se va a basar en aplicar limites. Una vez que calculemos los límites tendremos el área.

Propiedades de la integral inmediata

Vamos a ir poco a poco introduciéndonos en las integrales, por lo que comenzaremos con las integrales inmediatas puesto que son las mas sencillas. Estas integrales inmediatas únicamente hay que "darle la vuelta a las derivadas de la tabla de derivadas que ya publiqué anteriormente. 

Pero antes de esto tenemos que conocer las propiedades de las integrales indefinidas: 

• La integral del producto de un número real por una función es igual al número real por la integral de la función.

• La integral de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las integrales de dichas funciones.

Ahora os voy a mostrar como se pueden ir haciendo los ejercicios mas simples, y a partir de algunos de estos sacaremos unas pequeñas reglas:

Primitiva de una función

Como ya hemos visto anteriormente, la derivación es una técnica que nos permite hallar la derivada de una función dada. Por ejemplo f(x)= X³ + 2, la derivada de esta función es f'(x)= 3x² . Ahora vamos a dar la vuelta a Esta correspondencia buscando cual será la función primitiva de esta función derivada. Este proceso es el que se conoce como integración. 

Cabe hacer un pequeño matiz a modo de observación, en el que diremos que una misma derivada tiene tantas funciones primitivas como se quiera. Y lo único que diferenciaría a estas funciones primitivas, seria la constante que se las va sumando.  
La notación que aplicaremos en estos casos de funciones primitivas es:

Regla de L'Hopital

En matemáticas o mas específicamente en el calculo diferencial, es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites funcionales que estén en forma indeterminada. 

 Si os surgen dudas comentad.

Reflexión sobre la "entrevista" realizada al matemático Luis Abia

Hace ya bastante tiempo, publique en este blog una serie de preguntas a modo de entrevista para que nos las respondiese un matemático que vino a darnos una charla sobre la máquina de Turing. y después de mucho tiempo nos han llegado las preguntas que el señor Abia nos ha hecho el favor de responder. 

Aquí os dejo el enlace a la entrevista completa: 

https://www.blinklearning.com/useruploads/m/7307139/ENTREVISTAALUISABIA.pdf 

EL primer bloque corresponde a las preguntas personales, el segundo bloque son preguntas relacionadas con la conferencia que nos vino a impartir, y el tercer bloque, son preguntas que nos interesaban en general a la clase.

Con respecto a las preguntas personales, podemos decir que al señor Abia, a lo largo de su vida siempre ha mostrado predilección por todo aquello que a las ciencias se llamaba, pero no fue hasta COU cuando se sintió más atraído con la asignatura de las matemáticas en particular. Así que continuó por ese camino hasta la carrera, en la cual dice que aprendió a programar ordenadores y pronto decidió el tema sobre el cual quería tratar su tesis doctoral, ese tema era el análisis numérico. Estuvo también en Escocia, de profesor, que es lo más feliz le hace. Y en la actualidad es profesor y da numerosas conferencias, de las cuales se queja de la falta de comunicación que tienen los matemáticos y cree que también los químicos. Por último opina que los matemáticos no son extravagantes simplemente tienen su especialidad muy diferenciada del resto. Y afirma con mucha humildad que a el solo le gustan las matemáticas, no es un gran matemático.

En el segundo bloque, que como ya he dicho pertenecía a preguntas relacionadas con la conferencia, habla de aspectos que a nosotros nos dejaron un poco intrigados y nos resolvió algunas dudas. Por lo que le vuelvo a dar las gracias en nombre de todos. 

Y el tercer bloque nos respondió a preguntas como por ejemplo: ¿Cree que los alumnos llegan suficientemente preparados desde el bachiller a la universidad? A lo que el respondió que no depende de los estudios que hayan cursado con anterioridad sino que se mueven por lo que les gusta y se esforzarán por aprender. Tocó aquí otros asuntos de interés. Dijo que para el modo de enseñanza de las matemáticas hay luces y sombras, ya que no solo vale con conocer a fondo un tema sino que también implica saber transmitirlo a los alumnos, que al fin y al cabo son los que tienen que aprender. Abia dijo que la irrupción de los ordenadores supuso una revolución de las matemáticas ya que permite numerosas nuevas formas de aplicación de estas. También opina sobre la nueva ley de educación que afectará a mi generación el año que viene. Él dice que las matemáticas ya se han ido impartiendo a lo largo de distintos cursos de la educación obligatoria, por lo que vendría bien educar a la persona humanamente y a nivel personal.

Ejercicio de ejemplo sobre el estudio completo de una funcón

ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR: f(x)= X³ - 3X + 1

1. Dominio: Domf =R     Por ser polinómica

2. Cortes con los ejes: 

3. Continuidad y asíntotas:

         ·Esta función es continua porque es polinómica.

         ·No hay asíntotas verticales porque es polinómica

         ·No hay asíntotas oblicuas

         ·No hay asíntotas horizontales

 

4. Monotonía y extremos relativos

5. Convexidad y puntos de inflexión de f

6. Gráfica de la función

Estudio completo de una función

Después de todas las aplicaciones que hemos visto de las derivadas en sus funciones, podemos hacer un estudio mucho mas completo de una función, que los anteriores que realizábamos.

•  Dominio
• Puntos de corte, en los que podemos distinguir: Ceros de f (resolver la ecuación) y los cortes de eje x (f(x)).
• Continuidad y asíntotas.

• Acotación y extremos absolutos (Es prescindible)
• Monotonía y extremos relativos
• Convexidad y puntos de inflexión de f (Signo y ceros de f")
• Gráfica de la función 

Ejercicio correspondiente a los problemas de optimización

Lo primero que hay que tener en cuenta a la hora de realizar estos problemas de optimización, es lo que ya dije en entradas anteriores; El procedimiento:

1. Encuentra los extremos relativos f'
2. Evalúa la función de f

-Ejercicio: 

Problemas de optimización

Encontramos los extremos absolutos de una f continua y derivable (o a veces no) restringido a un intervalo.

·Observación: Los extremos absolutos de una función derivable y restringida a un intervalo están en los extremos absolutos o relativos.

·Procedimiento para los problemas de optimización:

1. Encuentra los extremos relativos (f')
2. Evalúa la función de f

·Ejemplo: 

 Una empresa de vino, tiene plantados 1200 cepas de vid. Produciendo cada una una media de 16 kg de vid. Existe un estudio previo que garantiza por cada cepa que se añada ala finca, las cepas producirán de media 0'01 kg menos de vid cada una. Determina el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de  la finca sea máxima. ¿Cual es dicha producción?

Clase del 26/05/16

En la clase de hoy, empezamos con un contra-ejemplo que demostraba que una parte de una proposición es falsa y la otra parte verdadera. Esta proposición la vimos cuando empezamos a explicar los putos de inflexión.

·Proposición: Acudo a f", cuando conocer el signo de f' es difícil.

                        

F DERIVABLE  DOS VECES

      Xo punto de inflexión de f ð f"(Xo)= 0

·Proposición: 

Ejercicio resuelto como ejemplo

En la última entrada de ayer os explique como se estudia la convexidad y puntos inflexión, pero a través de las gráficas representadas de funciones. Y e esta entrada de hoy, vamos a ver como se estudia la convexidad y los puntos de inflexión pero a través de una función, sin su representación gráfica. Y para hacer este tipo de ejercicios, es necesario calcular lo que te pide a través de derivadas. 

Convexidad y puntos de inflexión

Una función f se dice convexa si la región determinada por su gráfica es convexa. Lo que queda fuera son los puntos de inflexión. Según esto podemos diferenciar dos tipos de convexidad:

Existe una diferencia también entre convexidad, y región de plano convexo. Región plana se dice convexa, cuando el segmento que une dos puntos cuales quiera esta contenido en una región, y los puntos que no están contenidos en esta son puntos de inflexión. 

Ahora os voy a proponer un pequeño ejercicio, según lo que acabo de decir, deduce cual de las siguientes figuras son convexas.

También podemos observar una propiedad al respecto: Cuando una recta es convexa hacia arriba las rectas tangentes quedan por fuera. 

Resolución de ecuaciones a través del método de bisección

Para aplicar este nuevo método, lo que tenemos que conocer bien es como plantear la función si nos dan una ecuación. Por lo que aquí os voy a dejar este pequeño esquema:

                          Ecuación  <-------->  Función

            Resolver 2x+1= 0  <-------->  Halla los ceros de la función f(x)= 2x+1

            Resolver X³+5x= 0  <-------->  Halla la antimagen de 3 de la función                                                                f(x)0= X³+5x

Aquí podemos ver un pequeño nuevo concepto que es el de antimagen, la antimagen es la contraria de una imagen, mal dicho sería la flecha al revés.

Aunque sea difícil de ver, la antimagen de un número puede ser un conjunto vació.

Ahora vamos a estudiar un pequeño teorema que  nos va a servir a la hora de utilizar el método de bisección. Teorema de Bolzano o del valor intermedio de Darboux. Este es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

Método de bisección

Ejercicio sobre la monotonía

Si tenéis alguna duda, a algún comentario para mejorar este blog, os invito a que me escribáis en los comentarios.

Aplicación de las derivadas

Después de ver todas las derivadas, lo que tenemos que hacer a continuación es estudiar la aplicación de estas derivadas. Lo primero que voy ha hacer va a ser un índice o introducción en el que os voy a mostrar los conceptos que veremos en este nuevo tema, con una primera proposición al respecto.

• Monotonía y extremos relativos de f
• Signos 0 de f 

Pero antes de enunciar la proposición, hay que saber lo que es una función creciente y decreciente, ya que es importante para la monotonía y los extremos relativos. Pero se pueden distinguir funciones estrictamente crecientes y estrictamente decrecientes.
-Función estrictamente creciente:

 

-Función creciente:

-Función estrictamente decreciente:

-Función decreciente:

Una vez que ya sabemos esto podemos explicar la proposición:

Y para demostrar que es falso. habría que realizar un contra-ejemplo.

Corrección del examen para casa sobre las derivadas 2

Ya os dije en la anterior entrada que os iba a mostrar las correcciones del examen para casa sobre las derivadas que nos dio el profesor, así que como ya os publique los primeros 5 ejercicios, ahora os voy a publicar los siguientes.