Regla de L'Hopital

En matemáticas o mas específicamente en el calculo diferencial, es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites funcionales que estén en forma indeterminada. 

 Si os surgen dudas comentad.

Reflexión sobre la "entrevista" realizada al matemático Luis Abia

Hace ya bastante tiempo, publique en este blog una serie de preguntas a modo de entrevista para que nos las respondiese un matemático que vino a darnos una charla sobre la máquina de Turing. y después de mucho tiempo nos han llegado las preguntas que el señor Abia nos ha hecho el favor de responder. 

Aquí os dejo el enlace a la entrevista completa: 

https://www.blinklearning.com/useruploads/m/7307139/ENTREVISTAALUISABIA.pdf 

EL primer bloque corresponde a las preguntas personales, el segundo bloque son preguntas relacionadas con la conferencia que nos vino a impartir, y el tercer bloque, son preguntas que nos interesaban en general a la clase.

Con respecto a las preguntas personales, podemos decir que al señor Abia, a lo largo de su vida siempre ha mostrado predilección por todo aquello que a las ciencias se llamaba, pero no fue hasta COU cuando se sintió más atraído con la asignatura de las matemáticas en particular. Así que continuó por ese camino hasta la carrera, en la cual dice que aprendió a programar ordenadores y pronto decidió el tema sobre el cual quería tratar su tesis doctoral, ese tema era el análisis numérico. Estuvo también en Escocia, de profesor, que es lo más feliz le hace. Y en la actualidad es profesor y da numerosas conferencias, de las cuales se queja de la falta de comunicación que tienen los matemáticos y cree que también los químicos. Por último opina que los matemáticos no son extravagantes simplemente tienen su especialidad muy diferenciada del resto. Y afirma con mucha humildad que a el solo le gustan las matemáticas, no es un gran matemático.

En el segundo bloque, que como ya he dicho pertenecía a preguntas relacionadas con la conferencia, habla de aspectos que a nosotros nos dejaron un poco intrigados y nos resolvió algunas dudas. Por lo que le vuelvo a dar las gracias en nombre de todos. 

Y el tercer bloque nos respondió a preguntas como por ejemplo: ¿Cree que los alumnos llegan suficientemente preparados desde el bachiller a la universidad? A lo que el respondió que no depende de los estudios que hayan cursado con anterioridad sino que se mueven por lo que les gusta y se esforzarán por aprender. Tocó aquí otros asuntos de interés. Dijo que para el modo de enseñanza de las matemáticas hay luces y sombras, ya que no solo vale con conocer a fondo un tema sino que también implica saber transmitirlo a los alumnos, que al fin y al cabo son los que tienen que aprender. Abia dijo que la irrupción de los ordenadores supuso una revolución de las matemáticas ya que permite numerosas nuevas formas de aplicación de estas. También opina sobre la nueva ley de educación que afectará a mi generación el año que viene. Él dice que las matemáticas ya se han ido impartiendo a lo largo de distintos cursos de la educación obligatoria, por lo que vendría bien educar a la persona humanamente y a nivel personal.

Ejercicio de ejemplo sobre el estudio completo de una funcón

ESTUDIO COMPLETO DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA POR: f(x)= X³ - 3X + 1

1. Dominio: Domf =R     Por ser polinómica

2. Cortes con los ejes: 

3. Continuidad y asíntotas:

         ·Esta función es continua porque es polinómica.

         ·No hay asíntotas verticales porque es polinómica

         ·No hay asíntotas oblicuas

         ·No hay asíntotas horizontales

 

4. Monotonía y extremos relativos

5. Convexidad y puntos de inflexión de f

6. Gráfica de la función

Estudio completo de una función

Después de todas las aplicaciones que hemos visto de las derivadas en sus funciones, podemos hacer un estudio mucho mas completo de una función, que los anteriores que realizábamos.

•  Dominio
• Puntos de corte, en los que podemos distinguir: Ceros de f (resolver la ecuación) y los cortes de eje x (f(x)).
• Continuidad y asíntotas.

• Acotación y extremos absolutos (Es prescindible)
• Monotonía y extremos relativos
• Convexidad y puntos de inflexión de f (Signo y ceros de f")
• Gráfica de la función 

Ejercicio correspondiente a los problemas de optimización

Lo primero que hay que tener en cuenta a la hora de realizar estos problemas de optimización, es lo que ya dije en entradas anteriores; El procedimiento:

1. Encuentra los extremos relativos f'
2. Evalúa la función de f

-Ejercicio: 

Problemas de optimización

Encontramos los extremos absolutos de una f continua y derivable (o a veces no) restringido a un intervalo.

·Observación: Los extremos absolutos de una función derivable y restringida a un intervalo están en los extremos absolutos o relativos.

·Procedimiento para los problemas de optimización:

1. Encuentra los extremos relativos (f')
2. Evalúa la función de f

·Ejemplo: 

 Una empresa de vino, tiene plantados 1200 cepas de vid. Produciendo cada una una media de 16 kg de vid. Existe un estudio previo que garantiza por cada cepa que se añada ala finca, las cepas producirán de media 0'01 kg menos de vid cada una. Determina el número de cepas que se deben añadir a las existentes para que la producción de  la finca sea máxima. ¿Cual es dicha producción?

Clase del 26/05/16

En la clase de hoy, empezamos con un contra-ejemplo que demostraba que una parte de una proposición es falsa y la otra parte verdadera. Esta proposición la vimos cuando empezamos a explicar los putos de inflexión.

·Proposición: Acudo a f", cuando conocer el signo de f' es difícil.

                        

F DERIVABLE  DOS VECES

      Xo punto de inflexión de f ð f"(Xo)= 0

·Proposición: 

Ejercicio resuelto como ejemplo

En la última entrada de ayer os explique como se estudia la convexidad y puntos inflexión, pero a través de las gráficas representadas de funciones. Y e esta entrada de hoy, vamos a ver como se estudia la convexidad y los puntos de inflexión pero a través de una función, sin su representación gráfica. Y para hacer este tipo de ejercicios, es necesario calcular lo que te pide a través de derivadas. 

Convexidad y puntos de inflexión

Una función f se dice convexa si la región determinada por su gráfica es convexa. Lo que queda fuera son los puntos de inflexión. Según esto podemos diferenciar dos tipos de convexidad:

Existe una diferencia también entre convexidad, y región de plano convexo. Región plana se dice convexa, cuando el segmento que une dos puntos cuales quiera esta contenido en una región, y los puntos que no están contenidos en esta son puntos de inflexión. 

Ahora os voy a proponer un pequeño ejercicio, según lo que acabo de decir, deduce cual de las siguientes figuras son convexas.

También podemos observar una propiedad al respecto: Cuando una recta es convexa hacia arriba las rectas tangentes quedan por fuera. 

Resolución de ecuaciones a través del método de bisección

Para aplicar este nuevo método, lo que tenemos que conocer bien es como plantear la función si nos dan una ecuación. Por lo que aquí os voy a dejar este pequeño esquema:

                          Ecuación  <-------->  Función

            Resolver 2x+1= 0  <-------->  Halla los ceros de la función f(x)= 2x+1

            Resolver X³+5x= 0  <-------->  Halla la antimagen de 3 de la función                                                                f(x)0= X³+5x

Aquí podemos ver un pequeño nuevo concepto que es el de antimagen, la antimagen es la contraria de una imagen, mal dicho sería la flecha al revés.

Aunque sea difícil de ver, la antimagen de un número puede ser un conjunto vació.

Ahora vamos a estudiar un pequeño teorema que  nos va a servir a la hora de utilizar el método de bisección. Teorema de Bolzano o del valor intermedio de Darboux. Este es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo. Intuitivamente el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.

Método de bisección

Ejercicio sobre la monotonía

Si tenéis alguna duda, a algún comentario para mejorar este blog, os invito a que me escribáis en los comentarios.

Aplicación de las derivadas

Después de ver todas las derivadas, lo que tenemos que hacer a continuación es estudiar la aplicación de estas derivadas. Lo primero que voy ha hacer va a ser un índice o introducción en el que os voy a mostrar los conceptos que veremos en este nuevo tema, con una primera proposición al respecto.

• Monotonía y extremos relativos de f
• Signos 0 de f 

Pero antes de enunciar la proposición, hay que saber lo que es una función creciente y decreciente, ya que es importante para la monotonía y los extremos relativos. Pero se pueden distinguir funciones estrictamente crecientes y estrictamente decrecientes.
-Función estrictamente creciente:

 

-Función creciente:

-Función estrictamente decreciente:

-Función decreciente:

Una vez que ya sabemos esto podemos explicar la proposición:

Y para demostrar que es falso. habría que realizar un contra-ejemplo.

Corrección del examen para casa sobre las derivadas 2

Ya os dije en la anterior entrada que os iba a mostrar las correcciones del examen para casa sobre las derivadas que nos dio el profesor, así que como ya os publique los primeros 5 ejercicios, ahora os voy a publicar los siguientes.

Corrección del examen para casa sobre las derivadas

Ya sabéis cuales eran los ejercicios de este examen sobre las derivadas, puesto que lo subí en entradas anteriores. Hoy en clase el profesor nos ha explicado como estarían bien hechos casi todos los ejercicios, así que lo voy a compartir con vosotros. Mas tarde haré una pequeña reflexión sobre esto.

Primero vamos a abordar la continuidad de los 6 primeros ejercicios; Son continuas porque todos ellos son operaciones de continuas, son continuas en su dominio.

Lo mismo ocurre al estudiar la derivabilidad de los 5 primeros ejercicios; Son derivables, porque son operaciones de derivables.

Ahora vamos a ver las derivadas de los 5 primeros ejercicios.

Derivadas sucesivas (Derivadas enésimas)

En esta entrada os voy a explicar lo que son las derivadas sucesivas, su derivada enésima, y el principio o hipótesis de inducción, en la que demostraremos como hemos descubierto la derivada enésima por inducción.

Ejercicio: Realiza las primeras derivadas sucesivas, y encuentra la expresión analítica de la derivada enésima en n. 

Examen para casa sobre la continuidad y derivabilidad 2

Examen para casa sobre la continuidad y derivabilidad

Esta actividad es la última que nos ha mandado nuestro profesor, y en ella nos dice que de las siguientes funciones calcules su dominio, a continuación su derivabilidad y continuidad. Espero que estén perfectos como se pedía.

Más ejercicio sobre las derivadas y la Regla de la Cadena

En clase hemos seguido practicando ejercicios de derivadas y Regla de la Cadena.

Derivación de una función implicita

Ya vimos lo que era una función identidad, pero esta bien volver a repasarlo. La función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. 

En casi todo tipo de función polinómica, podemos encontrar una función implícita. Para esto existe una observación muy importante.

Gracias a esta norma se cumplen los siguientes casos: 

Ejemplos de derivación de funciones implícitas:

Indice del próximo trabajo. Transmisión del conocimiento: difusión científica

1. Prologo

2. Historia de la transmisión del conocimiento

    2.1. En la prehistoria

    2.2. Edad antigua 

    2.3. Edad Media (Origen de las Universidades y papel de los monasterios)

    2.4. Invención de la imprenta

    2.5. Contribuciones de las nuevas tecnologías

3. A que llamamos conocimiento
    3.1. Que es el conocimiento científico

4. Transmisión del conocimiento
    4.1. Formas de transmisión del conocimiento

5. Difusión científica 

6. Bibliografía

  

Ejercicio de repaso

Halla la derivada (Utilizando la regla de la cadena)

Primero:

Segundo:

Potenciación

De los distintos tipos de operaciones que podíamos realizar (que estuvimos viendo en entradas anteriores) nos quedaba por ver la potenciación. 

Ahora, voy a poneros posiblemente lo último que varemos de derivadas, pero esto no quiere decir que se dejen de trabajar. Siempre habrá que hacer ejercicios, porque no lo sabremos del toso bien.

Y haciendo un pequeño resumen, podemos ver tres formas de notación de derivadas: