Interpretación física de la TVM en cierto intervalo

Para hablar de esto es importante conocer antes el concepto de punto de inflexión. Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua, pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es 0, o no existe.

Derivada en un punto y derivada en cada punto

Lo primero que nos planteó el profesor en la clase del otro día fue un pequeño ejercicio o cuestión en la que nos preguntaba: ¿Qué relación existe entre el dominio de f y el dominio de f'? O lo que es lo mismo, cual es la relación entre el Dom f , y el dominio de su derivada Dom f'.
Como respuesta a esta pregunta podemos decir que si es derivable, su dominio es igual. Dom f= Dom f'. Si no es derivable en todos sus puntos, entonces su dominio es igual excepto en los puntos en los que no es derivable. 

Derivada en cada punto:
Si tengo f derivable, construyo de manera obvia la función derivada de f. 

Derivada en un punto: En una función afín o polinómica de primer grado 

Es decir, la TVM en un intervalo cualquiera, en este tipo de función siempre va a ser igual a la pendiente. Al realizar la drivada, va a seguir saliendo la misma constante a. Por lo que veo una primera función derivada.

Tasa de variación media

En la ultima clase del día 22/4/2016 comenzamos el tema nuevo, el Tema 12 que se titula Derivadas. Es decir, que sobre este concepto nos vamos a basar a lo largo de esta unidad. Pero para llegar a conocer a fondo lo que son las derivadas, antes tenemos que pasar por otros conceptos como son el de límite, y la tasa de variación media. El concepto de límite ya le hemos estado viendo anteriormente, así que hoy os voy a hablar sobre la tasa de variación media (TVM).
Su formula general es la siguiente, de la que se pueden extraer varias cosas:

De esto podemos sacar un nuevo concepto, que es el de función derivable: Una función es derivable cuando lo es en todos los puntos de su dominio. 

Con esto también podemos hablar de funciones derivables lateralmente. 

Proposición: Si una f es derivable en Xo, lo es en Xo- y Xo+

Por favor, sigo insistiendo en que si tengo algo mal o no lo entendéis dejéis vuestro comentario aquí abajo, y si os sigo sin resolver la duda a la derecha tenéis los blogs de mis compañeros. 

Ejercicios de comparación de infintos

Según el tipo de función que sea, existen distintos tipos de composiciones con infinitos. Y los tres tipos de funciones que vamos ha estudiar hoy son: función potencial y función exponencial.

·Función potencial: Tiene una pequeña excepción, ya que cuando tiene un exponente negativo que va hacia mas infinito, es un infinitésimo. 

·Función exponencial: También hay dos excepciones, ya que no todas las funciones exponenciales son negativas, y solo son infinitas en mas infinitos.

Ejercicios de límites

Antes de empezar ha hacer los ejercicios de límites, os voy a dejar una tabla de  infinitésimos equivalentes, que yo creo que os vendrá muy bien para hacer estos ejercicios. Al lado he puesto una pequeña ampliación a esta tabla, que creo que merece ser recordada.

                                  

·Ejercicio 1: 

 

·Ejercicio 2:

En este ejercicio podemos ver que aplicamos dos conceptos has ahora nuevos. El primero es el concepto de logaritmo neperiano: Se denomina logaritmo neperiano o natural, al logaritmo cuya base es el número e. Y el segundo concepto (en este caso teorema) es el teorema del límite de composición de funciones: Es tan básico como sustituir en el límite de una función o de una composición de límites el valor que te dan por el lugar que ocupa la incógnita.

·Ejercicio 3:

Comparación de infinito e infinitésimo

El conocimiento de estos dos nuevos conceptos, y su comparación nos permite conocer nuevos límites. Primero vamos a definir estos dos conceptos:

• Infinito: Una función f se dice infinita en un cierto punto X₀ (Que se pueden dar tres variantes, la primera es que sea menos infinito, la segunda es que ese número pertenezca a los números reales y la tercera es que sea mas infinito) si el límite de ese infinito es ± infinito.

Un ejemplo puede ser:

• Infinitésimo: f se dice infinitésimo en un punto  X₀ si 

Un ejemplo puede ser:

·COMPARACIÓN DE INFINITOS: Lo primero que hay que hacer es escribir dar dos funciones infinitas en un punto y nombrarle, a partir de estas hay que escribir sus límites. Y una vez conozcamos los límites de ambas funciones para ese punto, lo que tenemos que hacer es el cociente entre ambas, y de esta forma podremos comparar ambos infinitos.

De esto se puede establecer una proposición: Si el límite de un infinito se opera en un cociente o producto, este se puede sustituir por el límite del infinito equivalente.

·COMPARACIÓN DE INFINITÉSIMOS: Ocurre lo mismo que en a comparación de infinitos, pero esta vez en lugar de dirigirse el punto de una finción hacia infinito se dirige hacia 0, y al compararlo podemos ver cual de los dos tiene mas "velocidad".

De esto también se puede establecer una proposición: Si el límite de un infinitésimo esta operando en un cociente o producto, se puede sustituir por su equivalente.

Asintotas

Las asintotas, son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Podemos distinguir según hacia donde se vayan acercando tres tipos de asintotas, estas son la asintota vertical, horizontal y oblicua. 

• Asintotas horizontales: 

• Asintotas verticales:

Consideramos que el resultado del límite es infinito si tenemos un número real partido por cero. K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (En las funciones racionales).

·Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de la función 

• Asintotas oblicuas: 

Solo se hallaran asintotas oblicuas cuando no haya asintotas horizontales. Para que haya asíntotas oblicuas se tiene que cumplir que el grado del numerador sea exactamente un grado mayor que el del denominador.

Examen para casa 2. Ejercicios hasta el cinco

• Ejercicio 2: 

 

• Ejercicio 3:

• Ejercicio 4:

• Ejercicio 5:

Pequeño avance de las asintotas

Una asintota, en geometría, es la línea recta que prolongada indefinidamente, se acerca a una curva sin llegar nunca a encontrarla. 

Aprovechando que el jueves tenemos un examen por parejas, de varios temas incluido este de las asintotas. Mi compañero http://endlessmatematicas.blogspot.com.es/ y yo hemos trabajado un poco estas funciones el el nuevo programa de wiris para todos los servidores que nos aconsejo nuestro profesor. http://www.wiris.net/demo/calc.alpha/a 
Como ya os enseñe en el esquema de la entrada anterior de las asintotas, podían ser verticales, horizontales y oblicuas. Pues como estaba diciendo mi compañero Gonzalo y yo las hemos trabajado un poco estos dos últimos tipos de funciones.

La función roja de la gráfica se corresponde con la función asintota horizontal. Y la función verde con la asíntota oblicua. 

Ejercicio: continuidad en una función

Ya os hable anteriormente de que estos últimos contenidos corresponden a la unidad 12. Voy a haceros un pequeño esquema para que veáis lo que hemos visto y nos queda por ver. 

Como podréis observar solamente hemos visto hasta los límites de funciones elementales. Por lo que nos queda todas las asíntotas y las operaciones con límites de funciones.  Pero como bien dice el título, en esta entrada vamos ha hacer un ejercicio sobre la continuidad de una función para repasarlo y que nos quede bien claro a todos.

Ejercicio:  Estudia la continuidad de 

• F(x) es continua por la izquierda en x= 0, ya que f(x)= X² por ser una función polinómica es continua en toda R.
• F(x) es continua por la derecha en x= 4, ya que f(x)= 4 por ser una función polinómica es continua en toda R. 

Para que f(x) sea continua en todos los puntos del intervalo (0,4) tenemos que estudiar la continuidad en el punto x= 2, que es el único dudoso por tratarse de una función definida a trozos. F(2)= 4.

Por tanto f(x) es continua en el intervalo (0,4)

RECORDAD!!! 

Cuando vayamos a denotar un limite por la izquierda o por la derecha, el signo negativo - o el positivo + no se colocan encima de la abreviatura lim, si no debajo de este. ASI que tened cuidado y no cometáis los mismos errores que yo.

Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los limites laterales en x=X₀, pero son distintos. Con referencia al salto que produce esta discontinuidad inevitable es el mismo que definí en las funciones definidas a trozos. Que era el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales. Pero según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable. Discontinuidad inevitable de salto finito y discontinuidad inevitable de salto infinito.

• Discontinuidad inevitable de salto finito. La diferencia entre los límites laterales es un número real

Un ejemplo de esto es:

En x= 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3

• Discontinuidad inevitable de salto infinito. La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Un ejemplo de esto es: 

En x= 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Insisto en que si alguno tenéis alguna duda sobre mis publicaciones e este blog no dudéis en dejar vuestro comentario, o si queréis ayudarme a mejorar las entrada porque tengo alguna cosa mal, también podeís dejar vuestro comentario aquí abajo.

Proposición sobre las funciones definidas a trozos y continuidad lateral en un punto

 Empezamos viendo una proposición sobre las funciones definidas a trozos que ya comente anteriormente. Lo primero que hicimos fue establecer la proposición para el caso de límite por la derecha, y a continuación la del límite por la izquierda.
 Como vais a poder observar en la siguiente imagen estas dos proposiciones no son recíprocas. Esto quiere decir que la inversa de estas proposiciones no es verdadera. Sobre estas dos proposiciones de limites laterales de una función definida a trozos se puede establecer una proposición general de estos dos casos.

También vimos el concepto de continuidad lateral. Como ya sabemos siempre que nos referimos a los límites laterales de una función, su continuidad lateral y todo lo que haga referencia a la lateralidad de una función sabemos que tienen dos partes (izquierda y derecha). Por lo que podemos definir la continuidad lateral en un punto (x perteneciente a los números reales) cuando es continua tanto por la izquierda como por la derecha. 

• Función continua por la izquierda: Para decir si una función es continua por la izquierda tenemos que aplicar a esta lateralidad los tres casos que explique para una continuidad general.

               

• Función continua por la derecha: Ocurre lo mismo que en la continuidad por la izquierda, tenemos que aplicar los tres casos de la continuidad general.

             

Funciones definidas a trozos

Ya os explique anterior mente todos los tipos de funciones que conocía, y entre ellas estaba este tipo de función, la Función Definida a Trozos. Un ejemplo de este tipo de funciones es la función de valor absoluto. Pero yo hoy os voy a hablar de otro tipo, a lo mejor menos conocido que este que acabo de nombrar.Y es la función signo, con ella hemos estado trabajando, y el profesor nos pidió una serie de ejercicios.

    1.¿Es una función continua en 0?

No, ni si quiera se cumple la primera condición para que sea continua.

    2.Indica su límite.

F tiene una discontinuidad de salto finito. Salto=2. El salto es el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales.

Límites funcionales laterales

Como ya dije en entradas anteriores cuando hablaba de entornos laterales, se pueden dar tanto por la izquierda como por la derecha, pues lo mismo ocurre con los límites. Como entendemos estos entornos y límites desde el punto de vista de un plano, podemos observar perfectamente que tanto los entornos como los límites funcionales por la izquierda son negativos, y por la derecha son positivos.

• Límite funcional lateral izquierdo (negativo): Lo primero que tenemos que hacer es tomar un límite lateral izquierdo, y a partir de ahí establecer la definición:

• Límite funcional lateral derecho (positivo): En este caso ocurre lo mismo que con la variante que acabo de explicar, lo primero que se hace es tomar un límite lateral derecho de una función, y a partir de ahí conseguiremos obtener la fórmula.

Clase del 07/4/2016

La clase de hoy ha sido una de las últimas antes del próximo examen, y como hace unos días comenzamos la unidad 12, quedan pocas cosas por aprender y divertirnos con ellas.

Esta clase la empezamos con la definición de función continua: Una función cómo f(x) se dice continua si en X₀ ( X₀ siempre perteneciente a los números reales) si ocurren tres casos:

Para practicar este nuevo concepto, el profesor nos puso un ejercicio

La respuesta es que no,ya que falla la tercera condición. Por lo que encontramos el nuevo concepto de discontinuidad. Por lo que f(x) tiene una discontinuidad evitable en X₀. Se llama discontinuidad evitable porque la f se puede redefinir para que sea continua. Pero esta definición de discontinuidad evitable no esta del todo correcta.

-Definición mejorable de discontinuidad evitable. Para que sea una definición mejorable hay que alcanzar un caso mas. Y este caso es en el cual se cumple el primer caso, pero el segundo y el tercero no. Un ejemplo de esto último es:

También voy a redefinir la función anterior para que podáis ver como se hace: