Ejercicios para casa del examen II

Ejercicio 40: 
Escribe un polinomio de segundo grado P(x) tal que p(-1) = 1, p(2)=-3,
p(3) = 0.

Te dicen que es un polinomio de 2º grado, y su forma general es ax² + bx + c. Ademas te dan una serie de valores para tres polinomios distintos, con resultados distintos. Por lo que lo único que hay que hacer es sustituir estos valores aplicando el teorema del resto. 

           P(-1)=1               1 = a(-1)² + b(-1) + c             1 = a - b +c

P(2)=-3               -3 = a(2)² + b(2) + c              -3 = 4a +2b +c

P(3)=0                 0 = a(3)² + b(3) + c               0 = 9a+ 3b +c 

Ahora lo que tenemos es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que hay que resolver por el método de Gauss. 

  

Después de hallar las incognitas a través del método de Gauss, lo que hemos hecho ha sido sustituirlas en la ecuación general. Y ya estaría el resultado.

Ejercicios para casa del examen I

Ejercicio 14: 
Halla m para que el polinomio Pm(x) = 2x² + mx + 128 tenga raíz doble.

Como es una ecuación de segundo grado, lo primero que tengo que hacer es despejar la x a través de la formula de ecuaciones de segundo grado.
 2x² + mx + 128 = 0         

Como en el ejercicio te dicen que es una raiz doble, el requisito para eso es que la parte que esta dentro de la raiz sea 0. Entonces lo que tenemos que hacer es igualarlo a 0.   

 m² -1024 = 0         

Si m = 32, el ploinomio presenta una raiz doble. Y x = -8

Observación:  

Fracciones algebraicas

·Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios como pueden ser P(x) y Q(x): P(x)/Q(x)

·Dos fracciones algebraicas, P(x)/Q(x) y R(x)/T(x) son equivalentes se se verifica que P(x)·T(x) = R(x)·Q(X).

·Propiedad: Si multiplicamos o dividimos el numerador y al denominador de una fracción algebraica, obtenemos un a fracción equivalente a la dada.
·Simplificar una fracción algebraica es obtener una fracción mas sencilla y equivalente a la dada. 
·Llamamos fracción algebraica irreducible de una dada a la fracción equivalente cuyo numerador y denominador son polinomios primos entre si.

Formulas de Carano

Es la relación que existe entre las raíces de un polinomio y sus ecuaciones. 

1ª Relación de Cardano:

              ax² + bx + c = 0                     ( a distinto de 0 )

2ª Relación de Cardano: 

· Dadas dos raíces, podemos calcular la ecuación de la cual proceden gracias a estas dos formulas anteriores. 

Podemos poner un ejemplo, dadas las raíces 2y 3 calcula el plonomio: 

Simplemente hay que sustituir en la formula y quedaría x² – 5x + 6.

Ecuaciones plinómicas en función del grado II

·Ecuaciones polinómicas de grado superior que dos:
Son aquellas en las que el grado del polinomio es mayor que dos, como ocurre por ejemplo en el caso de la ecuación  X³ + 4x² + 3x = 0 

Lo que haríamos en este caso seria lo que comúnmente llamamos extraer factor común.  

X³ + 4x² + 3x = 0

x (x² + 4x + 3) = 0

Por lo que ya tendríamos una solución a la ecuación que seria x=0. Y de esta forma quedaría una simple ecuación de segundo grado que seria lo que esta dentro del paréntesis. x² + 4x + 3 = 0. 

Por resolver una ecuación de cuarto grado pongamos:

 X⁴ + 3x³ – 13x² + 9x + 30 = 0

Primero tendríamos que hallar todos los divisores de 30, y a partir de estos ir calculando ecuaciones mas simples aplicando el teorema de Ruffini hasta llegar a una de segundo grado y calcularla. En caso de que no den operaciones estacas a través del método de Ruffini, aplicaríamos lo que hemos aprendido anteriormente en las ecuaciones de tercer grado. Pero si no da con ninguno de los divisores de 30, lo que hariamos seria simplemente decir que no la sabemos hacer. 

Ecuaciones equivalentes

Definición: Son las que tienen la misma solución.

Observación: Es en plural, ya que es una relación simétrica.

Proposición:

1. a.b = b.c
2. Si multiplicamos a las dos por un número distinto de 0, seguirán siendo equivalentes (transformación elemental de una ecuación).

Ecuaciones polinómicas en función del grado I

·Ecuaciones polinómicas de primer grado: 
·Si a es distinto de cero, sera una ecuación del tipo:  

                                          ax + b = 0 

                                    x = -b/a                                                  

·Si a es igual a 0, la ecuación sera del tipo: 

                                          0x +b = 0

        

    Esta ecuación puede tener solución o no dependiendo de b:

             Si b = 0 entones la solución es 0

             Si b es distinto de 0 entonces no hay solución

·Ecuaciones polinomicas de segundo grado: (a = 0)

  Es aquella del tipo: ax² + bx + c = 0

                              x² + b/a x + c/a = 0



Para resolver este tipo de ecuaciones, realizamos la formula para las ecuaciones de segundo grado, que proviene de la propia ecuación de segundo grado:

Ecuaciones polinomicas

Son todas aquellas que tienen como forma P(x) = 0, a esta forma se le llama forma canónica.
De tal forma que al miembro de la izquierda le llamamos primer  miembro, y al de la derecha le llamamos segundo miembro.
Normalmente estas ecuaciones polinomicas suelen ser expresiones algebraicas, como por ejemplo:

  

Proposiciones para resolver las ecuaciones polinomicas:
1ª a = b si y solo si a + c = b + c
2ª a = b si a·c = b·c 

Para resolver la ecuacion anterior, primero tenemos que aplicar la segunda proposicion:

3(x+5)-2x = 6x-3(2x+1)

El siguiente paso es operar:

3x+15-2x = 6x-6x-3

x+15 = -3

Sumamos -15 a ambos miembros (despejamos la x), aplicamos la primera proposición:

x = -18

x+18 = 0 Forma canónica 

Ejercicio: Resuelve la siguiente ecuación 

ax+b = 0

ax = -b

x = -(b/a)

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios:

P(x)

        Q(x)       

Dos facciones, so equivalentes si se verifica que P(x) · S(x) = R(x) · Q(x) 

Propiedad: Si multiplicamos o dividimos el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, obtenemos una fracción equivalente a la dada.

Factoriza los siguientes polinomios

En la anterior clase estuvimos haciendo una serie de ejercicios que consistían en factorizar polinomios. 
Para resolverles utilizamos las proposiciones para factorizar que publique anteriormente.

Reflexión sobre la vida de Sophie Germain

En entradas anteriores hable sobre Shophie Germain una de las matemáticas mas importantes de los siglos XVII y XVIII. y en esta nueva entrada me gustaría hacer una pequeña reflexión. 

En la época en la que vivía Sophie, era una sociedad en la que la mujer no tenia casi ni la mitad de derechos que los hombres. Y como os podréis  imaginar eran discriminadas en ciertos aspectos, que solo estaban restringidos a los hombres. Si que es cierto que al venir de una familia con mas poder económico, Sophie, tuvo algunas facilidades con respecto a las demás mujeres. Como por ejemplo el poder disponer de una biblioteca familiar para consultar algunas cosas. Pero cabe destacar que todo lo que aprendió Sophie, lo aprendió de forma autodidacta, es decir que nadie la enseñó. Tenia un talento enorme para llegar a comprender todas esas matemáticas, y además seguir investigando en ellas y descubriendo nuevas cosas. El valor de esta mujer fue enorme, ya que consiguió abrirse paso entre esta sociedad hablando con grandes matemáticos de esa época bajo seudónimos y al fin llegar a conseguir la categoría de matemático. 

En resumen, Sophi Germain fue una de las primeras mujeres en abrirse camino en una sociedad dominada por hombres y con una pasion enorme por las matemáticas.

Proposiciones para factorizar polinomios

1ª Proposición ( raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros )
  P(x)∈   [x]      a ∈ , raiz de P(x) ð a/A₀ 
  Proposición contrarreciproca_: a ∈   a no divisor de A₀ ð no es raíz de P(x)

2ª Proposición: 
   P(x)= ax² +bx +c        ( a no es igual a 0 )
   Si x₁ y x₂ son raíces de P(x)ð P(x) = a (x-x₁)(x-x₂)

3ª Proposición (raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros) 
    P(x)∈   [x]      P(x)= a_nxⁿ + … + a₁x + a₀
      Si c\d es racionalde P(x) ð c\a_{0 ^}  d\ a_n

     ( c,d ∈ )...

Sophie Germain

Nació en París, y logro la categoría de matemático profesional estudiando por su cuenta en la gran biblioteca familiar. Mantuvo correspondencia con grande matemáticos de la época como Gauss y Cauchy. Sus primeros trabajos y sus primeras correspondencias las firma bajo el seudónimo de M. le Blanc. Años mas tarde se descubre su condición femenina.
En sus correspondencias con Gauss trataban temas sobre las matemáticas de gran dificultad, por lo que el propio Gauss al conocer que M. le Blanc se trataba de una mujer se quedo asombrado. Incluso la escribio una carta Sophie diciendo que en una sociedad en la que la mujer era inferior al hombre y los estudios prácticamente no había ninguna mujer; el genio y el valor  de Sophie debía de ser algo digno de apreciar. 

Trabajo en teoria de números (una disciplina en la que logro importantes resultados. Uno de los mas importantes fueron los posteriormente nombrados Números de Sophie, números primos que incrementados una intensidad seguían siendo números primos) y en la teoría de superficies elásticas, disciplina en en la que sus trabajos originales fueron premiados por la Academia de Ciencias de París. 

Una de las mayores contribuciones de Germain a la teoria de los numeros fue la demostracion matematica de la siguiente proposicion: si x, y, z son enteros y X⁵  + y⁵  = z⁵ , entonces al menos uno de ellos (x,y,  z) es divisible por 5. Esta demostracion, que fue descrita por promera vez en una carta a Gauss, tenia una importancia significativa ya que ratringia de forma considerable las soluciones del ultimo teorema de Fermat, el famoso, el famoso enunciado que no pudo ser demostrado por completo hasta 1993.

Una de sus mas famosas identidades, mas comunmente conocida como Identidad de Sophie Germain expresa para dos nueros x e y que: 

 

Polémica en EEUU

En Estados Unidos hubo un curioso caso relacionado con las matemáticas, en el que un niño realizo un problema planteado por la profesora, que consistía en realizar una multiplicación aplicando la estrategia de la suma repetida. La multiplicación era: 5x3, y el niño calculo el resultado sumando 5+5+5 que es igual a 15. La profesora dijo que que esa solución era incorrecta, que la correcta sería 3+3+3+3+3 cuya solución también es 15. ¿Es correcta la solución al problema planteada por el niño, o tiene razón la profesora? 

En mi opinión, tanto el niño como la profesora tienen razón a la hora de resolver la multiplicación porque según las propiedades de la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto. Por lo que seria lo mismo 3+3+3+3+3 que 5+5+5. Pero entre esas dos soluciones, estaría mas correcta la planteada por el alumno, ya que según esta planteada la multiplicación, seria tres veces 5, si fuesen cinco veces 3 la multiplicación debería ser: 3x5. Aun que, la verdad, es que siempre hay que respetar las decisiones del profesor, porque si cada alumno protestase por un ejercicio que tiene bien y el profesor se le corrige mal, este seria un tema muy habitual en los periódicos. 

Aquí os dejo el enlace al articulo periodístico en el que viene mas información. 

http://www.publico.es/sociedad/en-las-redes/polemica-eeuu-no-igual.html

Raíz de un polinomio

Llamamos raíz de un polinomio P(x) a cada uno de los números a para los cuales el valor numérico del polinomio es cero. 

 En lenguaje matemático esta definición seria: a es raíz de P(x) ó P(a) = 0

Proposición: 

   

  

En un polinomio con coeficientes enteros, si a es raiz de P(x), entonces a es divisor del termino independiente.

Ejercicio: Factoriza el siguiente polinomio

El polinomio a factorizar es: 6x² + 7x - 3

En este caso es un polinomio de segundo grado, por lo que hay que realizar la ecuación de segundo grado para calcular sus dos factores. Y a partir de uno de ellos se realiza la división entera del polinomio, a través de la regla de Ruffini. y el resultado de esta operación, seria el ultimo factor del polinomio. Por lo que el ejercicio queda resuelto.

División entera y división

Las diferencias entre una división entera y una división es que si al realizar la división entera el resto es cero ( 0 ), se pude realizar la división. Pero si el resto de la división entera no es cero, la división no tendría resultado, por lo que no se podría realizar.

De esta forma se podría decir mas generalmente que toda división con resto distinto de cero es una división entera, y toda división con resto cero es una división "exacta".

             

 

George Boole

Esta entrada se debe al 200 aniversario del matemático británico George Boole. Fue el inventor del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética computacional moderna. Boole también es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publico un libro donde desarrolló un sistema de reglas que permiten expresar manipular y simplificar problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados ( verdadero o falso) por procedimientos matemáticos. Se puede decir que es el padre de las operaciones lógicas y que gracias a su álgebra hoy en día es posible operar simbólicamente para realizar operaciones lógicas.

                                                  

Teorema del factor

En el álgebra el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.
   

   El polinomio P(x) es múltiplo de x - a.
   x - a divide a P(x).
   x-a es un factor/divisor de P(x) si y solo si a es raíz de P(x).