Derivada en un punto y derivada en cada punto

Lo primero que nos planteó el profesor en la clase del otro día fue un pequeño ejercicio o cuestión en la que nos preguntaba: ¿Qué relación existe entre el dominio de f y el dominio de f'? O lo que es lo mismo, cual es la relación entre el Dom f , y el dominio de su derivada Dom f'.
Como respuesta a esta pregunta podemos decir que si es derivable, su dominio es igual. Dom f= Dom f'. Si no es derivable en todos sus puntos, entonces su dominio es igual excepto en los puntos en los que no es derivable. 

Derivada en cada punto:
Si tengo f derivable, construyo de manera obvia la función derivada de f. 

Derivada en un punto: En una función afín o polinómica de primer grado 

Es decir, la TVM en un intervalo cualquiera, en este tipo de función siempre va a ser igual a la pendiente. Al realizar la drivada, va a seguir saliendo la misma constante a. Por lo que veo una primera función derivada.