Ejercicios para casa del examen II

Ejercicio 40: 
Escribe un polinomio de segundo grado P(x) tal que p(-1) = 1, p(2)=-3,
p(3) = 0.

Te dicen que es un polinomio de 2º grado, y su forma general es ax² + bx + c. Ademas te dan una serie de valores para tres polinomios distintos, con resultados distintos. Por lo que lo único que hay que hacer es sustituir estos valores aplicando el teorema del resto. 

           P(-1)=1               1 = a(-1)² + b(-1) + c             1 = a - b +c

P(2)=-3               -3 = a(2)² + b(2) + c              -3 = 4a +2b +c

P(3)=0                 0 = a(3)² + b(3) + c               0 = 9a+ 3b +c 

Ahora lo que tenemos es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que hay que resolver por el método de Gauss. 

  

Después de hallar las incognitas a través del método de Gauss, lo que hemos hecho ha sido sustituirlas en la ecuación general. Y ya estaría el resultado.

Ejercicios para casa del examen I

Ejercicio 14: 
Halla m para que el polinomio Pm(x) = 2x² + mx + 128 tenga raíz doble.

Como es una ecuación de segundo grado, lo primero que tengo que hacer es despejar la x a través de la formula de ecuaciones de segundo grado.
 2x² + mx + 128 = 0         

Como en el ejercicio te dicen que es una raiz doble, el requisito para eso es que la parte que esta dentro de la raiz sea 0. Entonces lo que tenemos que hacer es igualarlo a 0.   

 m² -1024 = 0         

Si m = 32, el ploinomio presenta una raiz doble. Y x = -8

Observación:  

Fracciones algebraicas

·Una fracción algebraica es el cociente entre dos polinomios como pueden ser P(x) y Q(x): P(x)/Q(x)

·Dos fracciones algebraicas, P(x)/Q(x) y R(x)/T(x) son equivalentes se se verifica que P(x)·T(x) = R(x)·Q(X).

·Propiedad: Si multiplicamos o dividimos el numerador y al denominador de una fracción algebraica, obtenemos un a fracción equivalente a la dada.
·Simplificar una fracción algebraica es obtener una fracción mas sencilla y equivalente a la dada. 
·Llamamos fracción algebraica irreducible de una dada a la fracción equivalente cuyo numerador y denominador son polinomios primos entre si.

Formulas de Carano

Es la relación que existe entre las raíces de un polinomio y sus ecuaciones. 

1ª Relación de Cardano:

              ax² + bx + c = 0                     ( a distinto de 0 )

2ª Relación de Cardano: 

· Dadas dos raíces, podemos calcular la ecuación de la cual proceden gracias a estas dos formulas anteriores. 

Podemos poner un ejemplo, dadas las raíces 2y 3 calcula el plonomio: 

Simplemente hay que sustituir en la formula y quedaría x² – 5x + 6.

Ecuaciones plinómicas en función del grado II

·Ecuaciones polinómicas de grado superior que dos:
Son aquellas en las que el grado del polinomio es mayor que dos, como ocurre por ejemplo en el caso de la ecuación  X³ + 4x² + 3x = 0 

Lo que haríamos en este caso seria lo que comúnmente llamamos extraer factor común.  

X³ + 4x² + 3x = 0

x (x² + 4x + 3) = 0

Por lo que ya tendríamos una solución a la ecuación que seria x=0. Y de esta forma quedaría una simple ecuación de segundo grado que seria lo que esta dentro del paréntesis. x² + 4x + 3 = 0. 

Por resolver una ecuación de cuarto grado pongamos:

 X⁴ + 3x³ – 13x² + 9x + 30 = 0

Primero tendríamos que hallar todos los divisores de 30, y a partir de estos ir calculando ecuaciones mas simples aplicando el teorema de Ruffini hasta llegar a una de segundo grado y calcularla. En caso de que no den operaciones estacas a través del método de Ruffini, aplicaríamos lo que hemos aprendido anteriormente en las ecuaciones de tercer grado. Pero si no da con ninguno de los divisores de 30, lo que hariamos seria simplemente decir que no la sabemos hacer. 

Ecuaciones equivalentes

Definición: Son las que tienen la misma solución.

Observación: Es en plural, ya que es una relación simétrica.

Proposición:

1. a.b = b.c
2. Si multiplicamos a las dos por un número distinto de 0, seguirán siendo equivalentes (transformación elemental de una ecuación).

Ecuaciones polinómicas en función del grado I

·Ecuaciones polinómicas de primer grado: 
·Si a es distinto de cero, sera una ecuación del tipo:  

                                          ax + b = 0 

                                    x = -b/a                                                  

·Si a es igual a 0, la ecuación sera del tipo: 

                                          0x +b = 0

        

    Esta ecuación puede tener solución o no dependiendo de b:

             Si b = 0 entones la solución es 0

             Si b es distinto de 0 entonces no hay solución

·Ecuaciones polinomicas de segundo grado: (a = 0)

  Es aquella del tipo: ax² + bx + c = 0

                              x² + b/a x + c/a = 0



Para resolver este tipo de ecuaciones, realizamos la formula para las ecuaciones de segundo grado, que proviene de la propia ecuación de segundo grado: