martes, 10 de mayo de 2016

Derivación de composición de tres funciones

Siempre hay que tener muy claro como se aplica la Regla de la Cadena. Y esta se aplica de la siguiente forma: Derivamos la última en actuar, en el lugar donde actúa, por la la siguiente en el lugar dónde actúa esta.
Esto anterior hay que tenerlo presente siempre, porque para hacer la composición de las tres funciones hay que conocer bien la Regla de la Cadena.



Como ya he dicho antes, he aplicado la Regla de la Cadena (lo repito para que no se nos olvide nunca como se utiliza y que es muy importante utilizarla). Esta composición esta expresada en forma de composición de funciones, ahora voy a expresarlo en forma de composición de imágenes a las que corresponde.


Ahora voy a poneros un pequeño ejemplo en el que tienes que calcular la derivada de la siguiente función para que veáis lo fácil y sencillo que es, prácticamente igual a la Regla de la Cadena simple.

lunes, 9 de mayo de 2016

Funciones trigonométricas

En la clase de hoy hemos terminado de ver las funciones que nos quedaban con sus respectivas derivadas. Para completar un poco esto, también hemos visto su inversa y su recíproca,con sus respectivas derivadas. Así que aquí os dejo esta tabla y si tenéis alguna duda podéis comentarme, o dejar vuestra opinión de lo que os parece este blog. 



Clase del 06/05/16

LÍMITE CON INFINITÉSIMOS (Ejercicio)



REGLA DE LA CADENA (Derivada de la composición de funciones)
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cundo existe composición de funciones. 
Proposición: 




Ejercicios:




Ahora vamos a ver un nuevo concepto, el de función recíproca, del que podemos extraer una primera proposición, y a continuación un ejercicio:


Derivada de una función logarítmica:




domingo, 8 de mayo de 2016

Disputas entre Newton y Leibniz

Como ya sabréis Newton ha sido uno de los científicos mas importantes de la historia. Pero su carácter mal humorado, su personalidad perversa, arrogante y hostil le ha traído muchos problemas con todos aquellos que opinaban distinto a él, o que simplemente se atrevían a tener una pequeña discusión con él. 
Dejando de lado su carácter, Newton fue físico, filósofo, teólogo, inventor alquimista y matemático. Pero en esta entrada os voy ha hablar sobre su faceta matemática, aunque destaco en también en todas las demás.

En cambio Leibniz fue un político filósofo, pedagogo, diplomático y matemático. Que destaco sobre todo en este último ámbito. En su carácter podemos destacar que Leibniz era mucho mas trabajador y constante que Newton, lo cual no quiere decir que sea mas inteligente que él. 

La disputa comenzó ya que Newton y Leibniz llegaron de maneras diferentes a desarrollar un segundo teorema fundamental del cálculo. Leibniz llego a crear esta calculo diez años después de Newton, no consideraba digno publicarlo pero lo hizo de inmediato. Cuando el calculo de Newton es conocido en Alemania, le acusa de plagio. Leibniz acudió a una asociación para demostrar que no le había plagiado, pero el presidente de esta asociación era el propio Newton, así que se las apañó par acusarle de plagio. Años mas tarde se descubrió que llegaron a ese calculo de manera independiente.

Este segundo teorema fundamental del cálculo consiste en ponerle límites a las integrales definidas, desde un valor (a) hasta un valor (b), para después sustituir estos valores a la función integrada. 

También hay algunos estudios y personas que creen que esta disputa pudo comenzar como un plan creado por ambos. Yo pienso que tiene mas validez la que os he explicado arriba, pero si queréis investigar hay numerosas páginas que hablan de ello.

martes, 3 de mayo de 2016

Corrección del último examen por parejas

El último examen que tuvimos en esta asignatura fue un examen por parejas en el que trabajé con mi compañero Gonzalo del Corral. Y los contenidos de los que se nos "examinaba" en este examen eran de los límites, y de todo lo referente a las funciones. 
Según dice con buena razón nuestro profesor, los exámenes tienen dos partes, el propio examen en clase, y la segunda parte que es volver a repetirlo en casa. Y esa parte ya la realizamos mutuamente, mi compañero y yo. 
Pero esta entrada es para valorar, corregirnos a nosotros mismos estos fallos, y de esta forma aprender de los errores que hemos cometido. También es otra forma de estudiar. Tengo que matizar, que esta corrección no va a ser del examen que volvimos a repetir en casa si no del que hicimos en clase por primera ver.

Yo voy a intentar valorar únicamente los fallos del examen, el nivel de dificultad, como nos lo pasamos haciéndole y si el resultado final fue satisfactorio, lo valorará mi compañero.

Ejercicio uno: (1/3)
  El primer ejercicio nos pareció sencillo al principio aunque nos costó bastante plantearlo. Sabíamos bien como se hacía, y en que casos salía mejor comprar la media docena, pero pero yo creo que lo que nos falló en este ejercicio fue sobretodo plantearlo y explicar mas casos haciendo una tabla como en la corrección del profesor. Y de esta manera se vería mas claro que sabíamos hacerle.

Ejercicio dos: (1/1)
   Este ejercicio en un primer momento le hicimos mal, ya que pensábamos que se hacía de otra forma, pero luego rectificamos y le corregimos. este ejercicio le tenemos bien. A demás nos ayudamos de la función para saber hacerlo y plantearlo. Esas son las ventajas de hacer exámenes a ordenador.

Ejercicio tres: (3/5)
   La verdad es que en este ejercicio no supimos muy bien hacerle ya que desde un principio no entendimos la gráfica o función. Así que yo considero que la nota que nos hemos puesto puede ser que estemos tirando un poco para arriba.
a) Este primer apartado nos pedía que en que momentos coincidían los móviles. Eso si que lo pusimos correctamente, aun que fijándonos en las correcciones que nos ha dado nuestro profesor, no hemos hecho un estudio tan completo desde el punto de vista físico que casi se pedía.
b) Aquí nos ocurrió prácticamente lo mismo, porque no lo tenemos tan completo como la corrección del profesor, simplemente pusimos lo que nosotros considerábamos la respuesta sin dar apenas explicaciones.
c) Este puede ser el apartado mas completo que tengamos ya que si que pusimos concretamente las continuidades que tenían ambas funciones.

Ejercicio cuatro: (3/5)
  a) Como pudo ver nuestro profesor, los ejercicios de composiciones les trabajamos bien, ya que si que sabíamos como se hacían bien este tipo de ejercicios. Además, los ejemplos les pusimos bastante bien.
  b)En este apartado nos costo mas explicarnos, aún que si que salimos bastante airosos porque conseguimos explicarnos bien. El problema es que lo hicimos con letras, no con lenguaje matemático como el profesor quería.
  c) Tenemos casi too bien, pero nos ocurre como en muchos anteriores no conseguimos explicarnos correctamente.

Ejercicio cinco: 
a) Sobre los tres puntos de este apartado del ejercicio cinco, sinceramente no creo que pudiésemos conseguir ni uno. NO le supimos hacer, aún que viéndolo otra vez si que lo entiendo, y podría ser capaz de hacerlo.
b) De los 6 puntos de este ejercicio nos pondríamos un 2,5 tirando un poco hacia arriba. Porque este ejercicio es el que mas nos costo hacer en todo su conjunto. Es decir, el dominio y la continuidad le supimos explicar, pero comparándolo con la corrección lo tenemos mal.
c) Tuvimos serias dificultades en el estudio completo de la función, nos ocurrió como en el ejercicio anterior lo pusimos como creíamos pero estaba mal y nos faltaban muchas cosas.

Clase del 03/05/16 (parte 2)

Seguimos el camino de la entrada anterior, en donde nos llegábamos por el cociente de derivadas. Al cociente de derivadas le sigue una nueva proposición que dice así: Si f y g son derivadas, el cociente es derivable, menos en los casos en los que el denominador haga 0.



Su denotación, es decir que dividir es multiplicar por el inverso. 


Ejercicio: Halla f' la derivada de la siguiente función, y a continuación su segunda derivada.



Derivada de la exponencial:





Clase de 03/05/16 (parte 1)

Completando la entrada anterior con la clase de hoy, hemos podido terminar la demostración del producto de derivadas, hacer una proposición al respecto y estudiar el cociente de derivadas. Y gracias a esto podemos comprender nuevos conceptos como son la derivada de la opuesta.

Proposición: para f, g derivables.


Esta proposición es del tipo implicación, pero es fácil de ver que su recíproca no es cierta. y para demostrar esto tenemos que demostrarlo con un contra ejemplo:
 f(x)= 3x ð g(x)= 3x+5
 f'(x)= 3    g'(x)= 3

Antes de ver el producto con derivadas, vamos a estudiar el concepto de derivada de la opuesta.


Producto de las derivadas, en el producto de derivadas hablamos del concepto de función derivada de la función inversa. 


Ejercicio: Halla la función derivada de la inversa de la siguiente función.