Discontinuidad inevitable

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los limites laterales en x=X₀, pero son distintos. Con referencia al salto que produce esta discontinuidad inevitable es el mismo que definí en las funciones definidas a trozos. Que era el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales. Pero según el tipo de salto nos encontramos con dos tipos de discontinuidad inevitable. Discontinuidad inevitable de salto finito y discontinuidad inevitable de salto infinito.

• Discontinuidad inevitable de salto finito. La diferencia entre los límites laterales es un número real

Un ejemplo de esto es:

En x= 2 hay una discontinuidad inevitable de salto finito 3

• Discontinuidad inevitable de salto infinito. La diferencia entre los límites laterales es infinito.

Un ejemplo de esto es: 

En x= 2 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Insisto en que si alguno tenéis alguna duda sobre mis publicaciones e este blog no dudéis en dejar vuestro comentario, o si queréis ayudarme a mejorar las entrada porque tengo alguna cosa mal, también podeís dejar vuestro comentario aquí abajo.

Proposición sobre las funciones definidas a trozos y continuidad lateral en un punto

 Empezamos viendo una proposición sobre las funciones definidas a trozos que ya comente anteriormente. Lo primero que hicimos fue establecer la proposición para el caso de límite por la derecha, y a continuación la del límite por la izquierda.
 Como vais a poder observar en la siguiente imagen estas dos proposiciones no son recíprocas. Esto quiere decir que la inversa de estas proposiciones no es verdadera. Sobre estas dos proposiciones de limites laterales de una función definida a trozos se puede establecer una proposición general de estos dos casos.

También vimos el concepto de continuidad lateral. Como ya sabemos siempre que nos referimos a los límites laterales de una función, su continuidad lateral y todo lo que haga referencia a la lateralidad de una función sabemos que tienen dos partes (izquierda y derecha). Por lo que podemos definir la continuidad lateral en un punto (x perteneciente a los números reales) cuando es continua tanto por la izquierda como por la derecha. 

• Función continua por la izquierda: Para decir si una función es continua por la izquierda tenemos que aplicar a esta lateralidad los tres casos que explique para una continuidad general.

               

• Función continua por la derecha: Ocurre lo mismo que en la continuidad por la izquierda, tenemos que aplicar los tres casos de la continuidad general.

             

Funciones definidas a trozos

Ya os explique anterior mente todos los tipos de funciones que conocía, y entre ellas estaba este tipo de función, la Función Definida a Trozos. Un ejemplo de este tipo de funciones es la función de valor absoluto. Pero yo hoy os voy a hablar de otro tipo, a lo mejor menos conocido que este que acabo de nombrar.Y es la función signo, con ella hemos estado trabajando, y el profesor nos pidió una serie de ejercicios.

    1.¿Es una función continua en 0?

No, ni si quiera se cumple la primera condición para que sea continua.

    2.Indica su límite.

F tiene una discontinuidad de salto finito. Salto=2. El salto es el valor absoluto de la diferencia de los límites laterales.

Límites funcionales laterales

Como ya dije en entradas anteriores cuando hablaba de entornos laterales, se pueden dar tanto por la izquierda como por la derecha, pues lo mismo ocurre con los límites. Como entendemos estos entornos y límites desde el punto de vista de un plano, podemos observar perfectamente que tanto los entornos como los límites funcionales por la izquierda son negativos, y por la derecha son positivos.

• Límite funcional lateral izquierdo (negativo): Lo primero que tenemos que hacer es tomar un límite lateral izquierdo, y a partir de ahí establecer la definición:

• Límite funcional lateral derecho (positivo): En este caso ocurre lo mismo que con la variante que acabo de explicar, lo primero que se hace es tomar un límite lateral derecho de una función, y a partir de ahí conseguiremos obtener la fórmula.

Clase del 07/4/2016

La clase de hoy ha sido una de las últimas antes del próximo examen, y como hace unos días comenzamos la unidad 12, quedan pocas cosas por aprender y divertirnos con ellas.

Esta clase la empezamos con la definición de función continua: Una función cómo f(x) se dice continua si en X₀ ( X₀ siempre perteneciente a los números reales) si ocurren tres casos:

Para practicar este nuevo concepto, el profesor nos puso un ejercicio

La respuesta es que no,ya que falla la tercera condición. Por lo que encontramos el nuevo concepto de discontinuidad. Por lo que f(x) tiene una discontinuidad evitable en X₀. Se llama discontinuidad evitable porque la f se puede redefinir para que sea continua. Pero esta definición de discontinuidad evitable no esta del todo correcta.

-Definición mejorable de discontinuidad evitable. Para que sea una definición mejorable hay que alcanzar un caso mas. Y este caso es en el cual se cumple el primer caso, pero el segundo y el tercero no. Un ejemplo de esto último es:

También voy a redefinir la función anterior para que podáis ver como se hace: 

Blogs que me ayudan mucho

Insisto en que podéis comentar en mi blog y preguntarme alguna pequeña duda, que yo intentare resolverosla lo mejor y buenamente que pueda. Pero si no lo consigo o no os gusta mi respuesta también podéis contar con el blog de mi compañero Hector, en el que publica cosas muy interesantes y entretenidas sobre las matemáticas y los grandes matemáticos de la historia. Yo siempre que tengo alguna duda me meto en su blog, o le pregunto personalmente para que la resuelva.

Aquí os dejo su enlace:  http://matematicastaqueteaburras.blogspot.com.es/

El resto de blogs de mis compañeros también os pueden ayudar, son todos los que teneis aqui a la derecha.

Elementos asociados a una recta

Ya vimos en anteriores entradas de mi blog, los tipos de funciones. Pues bien, hoy voy a volver un poco hacia atrás  y voy ha hablar de las funciones que representaban una linea recta en sus gráficas. Eran las funciones de grado 0 o constantes y las funciones de grado 1 que podían ser lineales o afines.

En definitiva, los elementos mas destacados de estas rectas son la inclinación, pendiente o coeficiente angular y ordenada en el origen:

• La inclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma esta recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

• Pendiente o coeficiente angular. La pendiente o coeficiente angular de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación. Se representa por m.

• Ordenada en el origen. La ordenada en el origen de una recta es el punto en el que esta recta corta o parte al eje de ordenadas. Se representa por b.